与えられた３正則グラフを、位数３の体上のサイクル頂点行列に対応させると、その行列は次のような性質を備える事になる。
（１）各行はサイクルに対応する。
（２）頂点数を2nとするとき、rankは(n+1)となる。実は、全ての行で０でない成分の個数が偶数の場合には、次元が１つ落ちてしまうので、rankが(n-2)になって若干不都合なのだが、このような場合は省く事ができるので、ここでは考えない。
（３）各列は頂点に対応する。
（４）各成分は、対応するサイクルに対応する頂点が含まれる時１または２、それ以外は０とする。１にするか２にするかは、サイクルを一定方向に辿る時に、各頂点でサイクルに含まれない辺がどちら側にあるかで決める。１つのサイクルでルールが共通でしていれば、サイクル毎にルールが違っても構わない。
（５）各列には２個又は３個の０でない成分がある。２個になる列は、グラフの外周部のサイクル上の頂点である。
（６）任意の２行の間で、同一列の成分が同時に０とならない箇所は、もしあればちょうど２箇所である。この条件は２面が１辺で接している事を表している。実はそうではないグラフも存在するのだが、省くことができるので、ここでは考えない。
（７）任意の行で、０でない成分は２箇所以上でなくてはならない。実のところ、２辺国と３辺国はそれらを取り除いたものと等価なので、実際には４箇所以上がのぞましく、四色定理の事だけ考えるなら、５箇所以上でなければならない。
（８）成分が０とならない箇所が６箇所未満である行が少なくとも１つ存在する事。
（９）任意の２頂点間をつなぐようなサイクルのチェーンが存在する。これがないと、連結でなかったり、連結でもいわゆるカットエッジが存在したりすると、そもそも辺３彩色ができなかったりする。
これらの性質を具備する行列が四色定理の証明に寄与するためには、この行列が次のような性質を満たす事が、必須となる：すなわち、
(n-1)列まで対角化した時、対角化されなかったn行n列の正方行列が、対角化の仕方によらず必ず正則行列となる事。
これがもしエレガントに証明できれば、四色定理はエレガントに証明される。
…なんかいろいろ書き足しているうちに、この条件自体があまりエレガントでなくなってきたよ。
（追記）
実は、次の二つの条件だけで充分でした：
（１）rankが(n+1)である事
（２）各列について、互いにスカラー倍となる列は１個までである事
奇数サイクルを含む３正則グラフのサイクル頂点行列はこの条件を満たします。
つまり、四色定理はエレガントに解けると思います。□
