だらだらメモです。
いままでの考え方の過ちに気付き、考え方を少し修正したら大幅に進展したので、そのメモです。
日本語がおかしいです。
前回、逆行列を使って直接彩色を求めようとしたが、これは最近の考察であまりうまく行かない事がわかった。
少し前提条件をきちんとまとめようと考えたところで、今まで成分が０にならない事にこだわり過ぎていたために代数的構造に目が向いていなかった事に気付いたので、直交補空間についてもっと真面目に考える事にした。
そのうえで、帰納法の前提となるグラフの直交補空間に含まれていて、一部条件を付け加えたグラフの直交補空間には含まれないベクトルが、証明に必要なベクトルで、これの存在をきちんと示す事ができれば、証明は終わりである。直交補空間を求めるので、逆行列ではなく転置行列が鍵となる。
問題は、どの基底を使って直交補空間を求めるかだが、ここで、前回も前々回もこの部分をきちんと条件付けできていなかった。
まず前回同様、証明したいグラフから、辺を１つとその両端の頂点を取り除いたグラフ（頂点が２つ、面が１つ減る）を考え、ここで帰納法の前提を使う事を考える。辺が取り除かれてできる新しい面を最外周とし、頂点が取り除かれた面の頂点に関連付けられた係数の合計が、前提となる彩色ではともに０となるが、これがともに非０となるような彩色ができれば、帰納法が成立する。
ここで、単純に３正則グラフに於ける辺３彩色の原理から、一方が０ならもう一方は必ず０に、一方が非０ならもう一方も非０というになる事がわかっている。実はここをまだ良く理解できていなかった。
二つ同時に０や非０にする事ばかり考えていたので、変数が固定できなかったのだ。
そこで、この関係を、もう少し理解しやすい形に書き換える事にした。すなわち、二つの和が０なら差は非０、差が０なら和は非０、言い換えると自乗の差は０、と言い換えた。
これにより、変数の一方は必ず０になるので、これを基底に組み込む事で、前提となるグラフはきれいに正方行列となり、残ったもう一方はそれらの一次結合で表される事になった。
これを得た瞬間、当初考えていた、非０の多項式の積の形になっている事に気付いた。具体的な数値を全く当てはめる事なく、解の存在がこれで示された。
…はい、これで本当に四色定理をエレガントに証明できるはずです。
（追記）
質問にも描きましたが、xy(x-y)(x+y)の形の他に多項式の積を0にする因数が無数にあるとすれば、それがおそらく不可避集合の多項式環上の表現となるのではないかという気がします。もしそうなら、結局エレガントには証明できないという事になってしまうのですが…。もしそうなら、数もおそらく３の４乗くらいはあると思われるので、あながちその予想は間違っていないのかもしれません。
